LOS FRACTALES

La geometría tradicional se encarga de las propiedades y de las mediciones de elementos tales como puntos, líneas, planos y volúmenes.

Sin embargo, las formas encontradas en la naturaleza, como montañas, franjas costeras, nubes, hojas, copos de nieve, y un sinnúmero de otros objetos no son fácilmente descritos por la geometría tradicional.
La geometría fractal nos proporciona una descripción y un modelo matemático para las complicadas formas de la naturaleza.
Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. Si bien el término "fractal" es reciente los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. Las maneras más comunes de determinar lo que hoy denominamos dimensión fractal fueron establecidas a principios del siglo XX en el seno de la teoría de la medida.

Fractales realizados por 3º ESO A

La isla de Koch

Variación del copo de nieve de Koch

Fractal con latas

Fractales con geogebra

CONSTRUCCIÓN DEL FRACTAL  DE KOCH CON GEOGEBRA

La construcción de un fractal se basa en el concepto de infinito. A partir de un motivo básico que se repite indefinidamente  se construye un objeto complejo en el que la estructura de todo el objeto se repite en cada pequeño trozo del mismo.

 

El copo de nieve de Koch es una de las más sencillas figuras fractales. Fue descrita por el matemático sueco Helge von Koch en 1906.

Para construirlo:

-         Se toma un segmento que se divide en tres partes iguales

                                   

-  Se remplaza la parte central por dos partes de igual longitud

-         Se repite la construcción  con cada uno de los cuatro segmentos obtenidos, lo que da 16 segmentos.

-         Y así sucesivamente, sin parar nunca…

Vamos a construir el fractal de Koch con Geogebra

Primero tienes que ver si tienes Geogebra en tu ordenador. Si no, puedes descargarlo:

http://www.geogebra.org/cms/es/download

-         Das permiso para ejecutar Java y pinchas sobre Webstart. Fíjate en que el idioma elegido sea el español

Una vez que hayas abierto Geogebra, sigue los siguientes pasos

	Construye	Comando
1	Punto A	Nuevo punto
2	Punto B	Nuevo punto
3	Segmento a	Segmento entre dos puntos (A y B)
4	Circunferencia c	Circ. dados su centro (A) y su radio (a/3)
5	Circunferencia d	Circ. dados su centro (B) y su radio (a/3)
6	Punto C	Intersección de 2 objetos (c y a)
7	Punto D	Intersección de 2 objetos (d y a)
8	Ocultar círculo c	Ratón derecho (muestra objeto)
9	Ocultar círculo d	Ratón derecho (muestra objeto)
10	Circunferencia. e	Circ. dados su centro (C) y su radio (a/3)
11	Circunferencia. f	Circ. dados su centro (D) y su radio (a/3)
12	Punto E	Intersección de 2 objetos (e y f)
13	Ocultar círculo e	Ratón derecho (muestra objeto)
14	Ocultar círculo f	Ratón derecho (muestra objeto)
15	Segmento b	Segmento entre dos puntos (A y C)
16	Segmento g	Segmento entre dos puntos (C y E)
17	Segmento h	Segmento entre dos puntos (E y D)
18	Segmento i	Segmento entre dos puntos (D y B)
19	Segmento j	Segmento entre dos puntos (C y D)
20	Segmento j	Ratón derecho: Propiedades del objeto color blanco; estilo grosor 7
21	Quitar nombres de los puntos	Ratón derecho (muestra rótulo)
22	Poner los puntos de grosor mínimo	Ratón derecho Propiedades del objeto Estilo: grosor mínimo

Ahora vas a crear una herramienta que te permita realizar este proceso más rápidamente.

Para ello Pinchas sobre

1 Menú Herramientas -> Creación de nueva herramienta

2 Selecciona los siguientes Objetos de Salida:

                    Puntos: C, D, E

                    Segmentos: b, g, h, i, j

3 Pasa al siguiente menú: Objetos de Entrada 

4 Selecciona el siguiente Objeto de Entrada:

                    Puntos A y B

5 Pasa al siguiente: Nombre e Icono

6 Da el nombre “Fractal de Koch” a la herramienta y al comando

En la Barra de Herramientas aparecerá una nueva imagen. Si pulsas sobre ella y sobre dos puntos de un segmento cualquiera se repetirá el motivo de Koch sobre él.

7 Para que no se pierda esta Herramienta cuando abandones Geogebra debes guardarla:

Menú Herramientas -> Manejo de útiles -> Graba como…

Copo de nieve de koch

Dibuja un triángulo equilátero y aplica sobre cada uno de sus lados la Herramienta “Fractal de Koch”

CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO DE SIERPINSKI CON  GEOGEBRA

Vamos a construir  el triángulo de Sierpinski con Geogebra

	Construye	Comando
1	Un triángulo cualquiera ABC	Polígono
2	Puntos medios de los lados: E, F y G	Punto medio
3	Pintar triángulo color azul
4	Triángulo ADE	Polígono
5	Triángulo ADE azul	Ratón derecho: Propiedades del objeto color azul
6	Triángulo EFC azul	Lo mismo
7	Triángulo DFB azul	Lo mismo
8	Triángulo DEF color blanco
9	Quitar los puntos	Comando derecho (muestra objeto)

Ahora vas a crear una herramienta que te permita realizar este proceso más rápidamente.

Para ello Pinchas sobre

1 Menú Herramientas -> Creación de nueva herramienta

2 Selecciona los siguientes Objetos de Salida:

                    Puntos: Triángulo 2, triángulo 3, triángulo 4 y triángulo 5

3 Selecciona el siguiente Objeto de Entrada:

                   Triángulo 1

4 Pasa al siguiente: Nombre e Icono

5 Da el nombre “Triángulo Sierpinski” a la herramienta y al comando

Ahora dibuja un triángulo equilátero (comando: polígono regular, 3 lados)
Píntalo de azul

Aplica la nueva herramienta al triángulo. Luego, a cada uno de los triángulos azules obtenidos, y así sucesivamente

6 Para que no se pierda esta Herramienta cuando abandones Geogebra debes guardarla:

Menú Herramientas -> Manejo de útiles -> Graba como…